ทฤษฎีการวางซ้อน

ทฤษฎีการวางซ้อนเป็นวิธีการอย่างหนึ่งที่ช่วยในการแก้ปัญหาวงจรไฟฟ้าที่มีความซับซ้อนได้อย่างกะทัดรัดโดยนิยามได้ว่า

ในวงจรไฟฟ้าแบบเชิงเส้น(Linear) ที่มีแหล่งจ่ายพลังงานหลายตัวนั้น  กระแสหรือแรงดันบนอุปกรณ์ไฟฟ้าแต่ละตัวมีค่าเท่ากับผลรวมทางพีชคณิตของกระแสหรือแรงดันบนอุปกรณ์นั้น ที่หาได้จากแหล่งพลังงานแต่ละตัวอย่างอิสระ

หลักการของทฤษฎีการวางซ้อน(Superposition)

1.หาค่าแรงดันหรือกระแสโดยคำนวณจากแหล่งพลังงานทีละตัว เสมือนว่าในวงจรนั้นมีแหล่งจ่ายเพียงตัวเดียว โดยการกำจัดแหล่งพลังงานที่เหลือออก ดังนี้

ถ้าเป็นแหล่งจ่ายแรงดันให้ลัดวงจร(Short circuit)ขั้วของแหล่งจ่ายแรงดันเพื่อให้เป็นวงจรปิด ซึ่งจะได้แรงดันเป็น 0V ตามสมการ

Vs = Vsc = 0

ถ้าเป็นแหล่งจ่ายกระแสให้ทำเป็นวงจรเปิด(Open circuit) ดังสมการ

Is = IOC = 0

การกำจัดแหล่งจ่ายเป็นการกำจัดในอุดมคติ คือVS และIS  เท่านั้น  แต่ความต้านทานภายใน (Rin ) ของแหล่งจ่ายยังคงอยู่ ต้องนำไปคำนวณด้วยทุกครั้ง

2.นำค่าแรงดันหรือกระแส ที่คำนวณได้ซึ่งมีจำนวนครั้งเท่ากับจำนวนแหล่งจ่าย มารวมกันแบบพีชคณิต คือ ต้องคำนึงถึงทิศทางด้วย จะได้ค่าแรงดันหรือกระแส บนอุปกรณ์ไฟฟ้าแต่ละตัวที่แท้จริง

3.การหาแรงดันบนอุปกรณ์ จะต้องทำแรงดันและกระแสก่อนแล้วนำมาคำนวณหาค่ากำลัง


ตัวอย่างการคำนวณ คลิกที่นี่

ดีเทอร์มิแนนต์

ในการแก้สมการที่ไม่ทราบค่า 2 ตัวแปรและ 3 ตัวแปรนั้น จำต้องนำสมการมาเขียนให้อยู่ในรูปของเมตริกซ์ก่อนแล้วใช้ดีเทอร์มิแนนต์หาค่าตัวแปรที่ต้องการทราบค่า

เมตริกซ์ (Matrix) คือกลุ่มตัวเลขที่จัดวางอยู่ในลักษณะแนวตั้ง หรือ คอลัมน์ (Column) และแนวนอนหรือ Row ดังนี้

(มีจำนวนแถว เท่ากับ 2 และจำนวนคอลัมน์ เท่ากับ 3)

รูปแบบทั่วไปของเมตริกซ์

a11 เป็นตัวเลขที่วางอยู่ตำแหน่ง แถวที่ 1 และ หลัก(คอลัมน์)ที่ 1 a12 เป็นตัวเลขที่วางอยู่ตำแหน่ง แถวที่ 1 และ คอลัมน์ที่ 2     a13 เป็นตัวเลขที่วางอยู่ตำแหน่ง แถวที่ 1 และคอลัมน์ที่ 3
a21 เป็นตัวเลขที่วางอยู่ตำแหน่ง แถวที่ 2 และ คอลัมน์ที่ 1    a22 เป็นตัวเลขที่วางอยู่ตำแหน่ง แถวที่ 2 และ คอลัมน์ที่ 2 a23 เป็นตัวเลขที่วางอยู่ตำแหน่ง แถวที่ 2 และ คอลัมน์ที่ 3
  a31 เป็นตัวเลขที่วางอยู่ตำแหน่ง แถวที่ 3 และ คอลัมน์ที่ 1 a32 เป็นตัวเลขที่วางอยู่ตำแหน่ง แถวที่ 3 และ คอลัมน์ที่ 2   a33 เป็นตัวเลขที่วางอยู่ตำแหน่ง แถวที่ 3 และ คอลัมน์ที่ 3
an1 เป็นตัวเลขที่วางอยู่ตำแหน่ง แถวที่ n และ คอลัมน์ที่ 1 an2 เป็นตัวเลขที่วางอยู่ตำแหน่ง แถวที่ n และ คอลัมน์ที่ 2 an3 เป็นตัวเลขที่วางอยู่ตำแหน่ง แถวที่ n และ คอลัมน์ที่ 3

   anm เป็นตัวเลขที่วางอยู่ตำแหน่ง แถวที่ n และ คอลัมน์ที่ m

ดีเทอร์มิแนนต์(Determinant)

          คือผลรวมทางพีชคณิตของทุกๆตัวเลข(Element) ในแนวทะแยงของเมตริกซ์จตุรัส (Square matrix) ใดๆ โดยให้เครื่องหมายบวก(+) คือ คูณทะแยงลง และเครื่องหมายลบ(-)คือคูณทะแยงขึ้น  ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวเลขหรืออาจติดเครื่องหมาย(+) หรือ เครื่องหมาย(-)ก็ได้

1.คูณทแยงลงได้ดังนี้

 

 จะได้เครื่องหมาย บวก (+)

2.คูณทแยงขึ้น ได้

 

 จะได้เครื่องหมาย ลบ (-)  

 

ผลลัพธ์ที่ได้

 

 


ตัวอย่างการคำนวณ

 ตัวอย่างที่ 1.     จงหาค่า X  เมื่อ  

X   = (5 X 9) + (-) (7 X6)
  = 45 – 42
  = 3 

ตัวอย่างที่ 2.     จงหาค่า Y  เมื่อ

     

Y   = +(-4  X  -5)  + (-)(0 X 6)
  =  20  -   0
  =  20

      ตัวอย่างที่ 3.     จงหาค่า  Z   เมื่อ 

=  + (-4  X   7)  +(-)(-6  X  -1)
  =   -28  - 6
  =   -34

     ตัวอย่างที่ 4.     จงหาค่า  ของ A เมื่อ                                          

                วิธีทำ

ตอบ    A = - 4


ตัวอย่างที่ 5  จงหาค่า U

วิธีทำ

  = 0 + 32 + (-210) –0 + 28 - 160
  =   -310

                 

การแก้สมการโดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์

การแก้สมการ 2 ตัวแปร (สมการที่ไม่ทราบค่า 2 ตัวแปร)   เช่น

เมื่อ       x  และ  y  เป็นตัวแปรที่ไม่ทราบค่า ที่เราต้องการหา

                       เป็นสัมประสิทธิ์ของตัวที่ไม่ทราบค่า

                        m และ n เป็นค่าคงที่

วิธีทำ

เขียนสมการให้อยู่ในรูปเมตริกซ์ จะได้

 

หาค่า X จะได้(นำค่าคงที่มาเขียนแทนตำแหน่งสัมประสิทธิ์ของ x)

 หาค่า y จะได้ (นำค่าคงที่มาเขียนแทนตำแหน่งสัมประสิทธิ์ของ y)

ตัวอย่างการแก้สมการ

จงหาค่า X1  และ  X2  จากสมการ

วิธีทำ    เขียนสมการในรูปเมตริกซ์

 

 

เพราะฉะนั้น จะได้

 

การแก้สมการ 3 ตัวแปร  มีหลักการเดียวกันกับการแก้สมการที่มี 2 ตัวแปร

จัดสมการในรูป เมตริกซ์ จะได้

 

หาดีเทอร์มิแนนต์

Read more: ดีเทอร์มิแนนต์

เมชเคอร์เรนต์(Mesh Current)

เมชเคอร์เรนต์(Mesh  Current)

ในการแก้ปัญหาโจทย์วงจรไฟฟ้าที่มีความ ยุ่งยาก ซับซ้อน บางครั้งเมื่อนำกฏของเคอร์ชอฟฟ์มาใช้อาจทำให้ ยุ่งยากสับสนและเสียเวลา ดังนั้นนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ  เจมส์  คลาก  แมกซ์เวลล์  จึงคิดวิธีการแก้ปัญหาวงจรดังกล่าวให้รวดเร็วขึ้น  โดยสมมติ ให้มีกระแสไฟฟ้าไหลวนอยู่ในวงจรปิด  ซึ่งแบ่งแยกเป็นวงจรย่อยๆ  และถือว่ากระแสไฟฟ้าที่ไหลวนอยู่ในวงจรปิดต่างๆ ต่างเป็นอิสระต่อกัน   ส่วนการกำหนดทิศทางของกระแสที่ไหลในวงจรปิดแต่ละวงจรจะให้ไหลไปทางไหนก็ได้

          วิธีการเมชเคอร์เรนต์ จะกำหนดให้ว่าในวงจรปิดหนึ่งๆ จะมีกระแสไฟฟ้าไหลวนอยู่อย่างต่อเนื่องและเป็นอิสระต่อกัน  ซึ่งกระแสไฟฟ้าที่ ไหลวนเรียกว่า เมชเคอร์เรนต์ ( Mesh  Current )หรือ ลูปเคอร์เรนต์ โดยจำนวนกระแสเมชที่สมมุติ ขึ้นจะเท่ากับจำนวนสมการ

ลำดับขั้นการแก้สมการโดยใช้วิธีเมชเคอร์เรนต์

1. สมมุติกระแสเมชในแต่ละลูป

หรือ

2. สมการแรงเคลื่อนไฟฟ้าของเคอร์ชอฟฟ์ ในแต่ละลูป จากกฏแรงเคลื่อนไฟฟ้าของเคอร์ชอฟฟ์ ผลรวมของแรงดันที่ตกคร่อมส่วนต่างๆ ของวงจร เท่ากับผลรวมของแรงดันที่ตกคร่อมที่แหล่งจ่าย   จะได้จำนวนสมการ  =  จำนวนวงจรปิด

3. จัดดสมการเขียนในรูปเมตริกซ์ (Matrix)

4. แก้สมการหาค่าดิเทอร์มิแนนต์ และ ค่ากระแสในข้อ 1

 

ตัวอย่างการคำนวณ  โดยใช้  เมชเคอร์เรนต์แก้ปัญหาวงจรไฟฟ้า

1.จากวงจรด้านล่าง จงคำนวณหากระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านความต้านทาน แต่ละตัว 

วิธีทำ          จำนวนวงจรปิด หรือเมชเคอร์เรนต์ เท่ากับ 2

       I1 และ I2 คือกระแสเมชที่สมมติขึ้น

                   วงจรปิดที่ 1 มีกระแส  I1 เป็นกระแสเมช

                   วงจรปิดที่ 2 มีกระแส  I2 เป็นกระแสเมช

Loop   1

E1 = I1R1 + (I1 + I2)R2
I1R1 + I1R2 + I2R2 = E1
แทนค่าความต้านทาน  20I1 + 30I1 + 30I2 = 20
50I1 + 30I2 = 20

 Loop   2

 

E2 = I2R3 + (I1 + I2)R2
I2R3 + I1R2 + I2R2 = E2
แทนค่าความต้านทาน      30I2 + 30I1 + 30I2 = 30
30I1 + 90I2 = 30

เขียนสมการในรูปเมตริกซ์


อ่านเพิ่มเติม คลิกดาวน์โหลดที่นี่

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

การต่อวงจรความต้านทาน

การต่อวงจรความต้านทาน

การต่อตัวต้านทานเพื่อใช้กำหนดค่าความต้าน ทานตามที่ทำการออกแบบไว้นั้น  สามารถกระทำได้  โดยการนำเอาตัวต้านทานมาต่อกันเป็นวงจรตัวต้านทาน ซึ่งมีอยู่  3  แบบคือ

  1. วงจรตัวต้านทานแบบอนุกรม ( Series  Resistor  Circuit )
  2. วงจรตัวต้านทานแบบขนาน( Parallel  Resistor  Circuit )
  3. วงจรตัวต้านทานแบบผสม ( Compound  Resistor  Circuit )

 

วงจรตัวต้านทานแบบอนุกรม  เป็นการต่อตัวแบบปลายต่อปลาย  เรียงแถวกันไปจนครบทุกตัว  แล้วนำปลายขาของตัวต้านทานที่เหลือนำไปใช้งาน  ซึ่งมีลักษณะของวงจรอนุกรมดังรูป

รูปที่ 1 การต่อวงจรความต้านทานแบบอนุกรม

ความต้านทานรวม (RT) = R1 + R2 + R3 + ............Rn
E = V1 + V2 + V3 + Vn

การต่อวงจรตัวต้านทานแบบ อนุกรมนี้  จะมีค่าของความต้านทานเพิ่มมากขึ้นเท่ากับผลรวมของค่าความต้านทานแต่ละตัวใน วงจร  แต่อัตราทนทดกำลังไฟฟ้ารวมของวงจรจะมีค่าเท่ากับอัตราทนกำลังงานไฟฟ้าของตัว ต้านทานที่มีค่าต่ำสุดในวงจรอนุกรมนี้ และกระแสผ่านความต้านทานทุกตัวมีค่าเท่ากัน

วงจรตัวต้านทานแบบขนาน เป็นลักษณะของการต่อวงจรโดยการนำเอาปลายขาข้างหนึ่งของตัวต้านทานแต่ละตัวมา ต่อรวมกัน  แล้วต่อปลายขาข้างที่เหลือรวมกันอีกครั้งหนึ่ง  โดยที่ปลายขาที่จับมาต่อรวมกันทั้งสองข้างจะเป็นปลายขาที่นำไปต่อใช้งาน  ลักษณะนี้แสดงได้ดังรูป

แรงดันไฟฟ้า E = V1 = V2 = V3 = ............Vn
I = I1 +I2 +I3 + In

 

รูปที่ 2 การต่อวงจรความต้านทานแบบขนาน

 

การต่อตัวต้านทานแบบผสม(Series–Parallel Resistor Circuit)
     
  จะเป็นการต่อวงจรในลักษณะของวงจรแบบอนุกรมและขนานร่วมกัน  ในการวิเคราะห์เพื่อคำนวณหาค่าความต้านทานและอัตราทนกำลังงานไฟฟ้าของวงจรจะต้องพิจารณาในแต่ละส่วน คือแยกคำนวณว่าเป็นวงจรอนุกรมและขนาน แล้วจึงหาค่าความต้านทานรวม 

 

 

รูปที่ 3การต่อวงจรความต้านทานแบบผสม